《博弈论基础》第七节

本节讨论混合战略纳什均衡的含义与存在性。混合战略可解释为对手对某个纯战略选择的不确定性，而非真的随机选择，如击球手对投手选择的推断。

本节讨论混合战略纳什均衡的含义与存在性。混合战略可解释为对手对某个纯战略选择的不确定性，而非真的随机选择，如击球手对投手选择的推断。以性别战为例，计算双方期望收益，得出最优反应对应，其交点处帕特以1/3概率选歌剧、克里斯以2/3概率选歌剧构成混合战略均衡，另两个交点为纯战略均衡。两人各有两个纯战略的博弈，按收益可分为四种情况，分别对应不同的最优反应对应形状；任意两种组合的最优反应对应至少有一个交点，故至少存在一个纳什均衡，可能出现唯一纯战略均衡、唯一混合战略均衡或两个纯战略加一个混合战略均衡三种情形。更一般地，纳什（1950）证明：有限参与者、有限战略空间的标准式博弈至少存在一个纳什均衡（可含混合战略）。证明借助不动点定理：先说明n人最优反应对应的不动点即纳什均衡，再用角谷（1941）推广的不动点定理证明该对应必有不动点，因为每个参与者的最优反应对应在转折点处包含左右极限及中间所有值，满足角谷定理条件。该定理是均衡存在的充分条件，战略空间无限的博弈不在此列，但仍可能有均衡。