《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》第二十节

本节介绍两款推广形式的黎曼猜想。首先介绍广义黎曼猜想。它采用的函数是狄利克雷L函数，即狄利克雷L级数的解析延拓。

本节介绍两款推广形式的黎曼猜想。

首先介绍广义黎曼猜想。它采用的函数是狄利克雷L函数，即狄利克雷L级数的解析延拓。该级数的系数是一组满足周期性、完全积性、与模互素时非零等三个条件的狄利克雷特征。当模取1时特征恒为1，级数退化为黎曼ζ函数所对应的p级数，可见狄利克雷L函数是黎曼ζ函数的推广。它同样有欧拉乘积形式、函数方程，零点也分平凡与非平凡两类。猜想内容是：其所有非平凡零点都位于临界线实部等于1/2上。该猜想应用广泛，成立则可给出算术级数中素数分布的最佳估计。

接着介绍扩展黎曼猜想，它采用戴德金ζ函数。该函数是戴德金ζ级数的解析延拓，级数定义涉及数域、整数环、理想、绝对范数等代数概念。数域是有理数域的有限次代数扩张域，其中的数都是有理系数代数方程的解；整数环由数域中所有代数整数（整系数、首项系数为1的方程的解）构成；理想是整数环中对加减乘封闭、含零且与整环元素乘积仍在其中的子集，可视为广义的零，用于对环中元素分类。