《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》第五节

黎曼由前述结果得到了J(x)的显式表达式，结合π(x)与J(x)的关系，构成了他1859年论文的主要成果——素数分布的精确表达式。

黎曼由前述结果得到了J(x)的显式表达式，结合π(x)与J(x)的关系，构成了他1859年论文的主要成果——素数分布的精确表达式。其第一项正是素数定理所预言的Li(x)。黎曼未能由此直接证明素数定理，原因在于表达式中与ζ函数非平凡零点有关的级数：素数分布的细致涨落正蕴涵其中，而该级数条件收敛，各项贡献相互抵消。当时人们对零点分布所知甚少（仅知其实部介于0与1之间），无法有效估计偏差。1901年科赫证明：若黎曼猜想成立，素数定理与实际分布的绝对偏差为O(x ln x)。利特尔伍德则证明偏差至少为Li(x) lnlnln x，两者已相当接近。可见黎曼猜想成立意味着素数分布相对有序；若某对零点偏离临界线，偏差将变大。这使人们看到了素数分布背后的规律与秩序。

黎曼论文发表后的二三十年间进展寥寥。1885年，29岁的荷兰数学家斯蒂尔切斯在巴黎科学院发表简报，声称证明了M(N)=O(N)（M为默比乌斯函数的求和，即梅尔滕斯函数）。这一命题看似平常，实则比黎曼猜想更强，意味着黎曼猜想乃至素数定理均已获证。斯蒂尔切斯同时致信埃尔米特重复此声明，但未给出证明，只称证明过于复杂需简化。当时学术界常有成果不公布详情之事，故人们倾向于相信。埃尔米特自1882年起与斯蒂尔切斯通信，十二年间往来四百余封。斯蒂尔切斯当时只是莱顿天文台助理，大学时三度考试不及格，靠父亲关系入职，却心系数学。埃尔米特是虔诚的天主教徒，相信数学是超自然之物，认定斯蒂尔切斯具有窥见数学奥秘的天赋，对他深信不疑。为促使斯蒂尔切斯公布证明，埃尔米特提议法国科学院将1890年大奖主题定为"确定小于给定数值的素数个数"，征集黎曼论文中提及而未证的命题。然而截止日期到来，斯蒂尔切斯毫无动静。最终获奖的是埃尔米特的学生阿达马，其论文证明了黎曼辅助函数ξ(s)的连乘积表达式。几年后阿达马再接再厉，一举证明了素数定理。埃尔米特这根长线虽未钓到斯蒂尔切斯与黎曼猜想，却意外收获了阿达马与素数定理。斯蒂尔切斯本人并非浮夸之辈，他在连分数研究上贡献卓著，被誉为"连分数分析之父"，黎曼-斯蒂尔切斯积分也以他命名（两人并无实际交集，黎曼去世时他年仅十岁）。但那份声明终究未能兑现，如今数学界普遍认为他关于M(N)=O(N)的证明即便存在也是错误的，该命题本身也日益受到怀疑。