《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》第四节

本节先讲从黎曼ζ函数到素数分布的计算路径：通过J(x)与ζ(s)的表达式可由ζ(s)算出J(x)，再用默比乌斯反演（涉及默比乌斯函数μ(n)）由J(x)算出素数分布函数π(x)……

本节先讲从黎曼ζ函数到素数分布的计算路径：通过J(x)与ζ(s)的表达式可由ζ(s)算出J(x)，再用默比乌斯反演（涉及默比乌斯函数μ(n)）由J(x)算出素数分布函数π(x)，素数分布因此完全蕴涵在ζ(s)中。

随后进入黎曼的论文。黎曼引入辅助函数ξ(s)，好处有三：它是整函数，比ζ(s)好处理；把ζ(s)的函数方程化为对称形式ξ(s)=ξ(1-s)；其零点恰好与ζ(s)的非平凡零点重合。结合ζ(s)在Re(s)>1无零点，可得所有非平凡零点都位于0≤Re(s)≤1的带形内。

黎曼用ξ(s)的零点ρ把lnξ(s)分解为级数与无穷乘积（后者1893年由阿达马证明）。他提出三个命题：命题一给出带形内零点个数的渐近公式（1905年由曼戈尔特证明，即黎曼-曼戈尔特公式，并确立非平凡零点无穷多）；命题二称几乎所有零点都在Re(s)=1/2上，黎曼未给出证明；命题三即黎曼猜想，黎曼以"非常可能"的语气提出，称寻找证明对其直接目标不必要。现今已有上千条命题以黎曼猜想为前提。

最后回到J(x)的计算：黎曼先对J(x)分部积分，再代入lnζ(s)的分解式逐项积分，结果条件收敛，需配对并按虚部从小到大求和（1895年由曼戈尔特证明）。积分时黎曼隐含要求0<Re(ρ)<1，比已知的0≤Re(ρ)≤1更强，他未加证明，是论文的一个漏洞，但结果本身不依赖该条件。