《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》第十九节

本节介绍"山寨版"黎曼猜想。由于黎曼猜想关乎黎曼ζ函数零点分布，山寨版只需构造"山寨版"黎曼ζ函数——即有限域上代数曲线的ζ函数，它通过代数曲线所含点的数目来定义……

本节介绍"山寨版"黎曼猜想。由于黎曼猜想关乎黎曼ζ函数零点分布，山寨版只需构造"山寨版"黎曼ζ函数——即有限域上代数曲线的ζ函数，它通过代数曲线所含点的数目来定义，与正版一样是复变量函数。由此可表述其零点分布猜想，因曲线无穷多，实为无穷多猜想的统称。历史上阿廷1923年提出超椭圆曲线情形的猜想，哈塞1933年证明椭圆曲线情形，韦伊则给出任意曲线的普遍证明（1948年发表），并于1949年将其推广到高维代数簇，得到韦伊猜想——其零点分布要求与维数有关的一系列直线。该猜想后由格罗滕迪克的学生德利涅于1974年证明，德利涅获1978年菲尔兹奖。证明过程中格罗滕迪克创立了平展上同调等新工具。山寨版与正版的相似性不仅在于零点在直线上，还在于它有类似欧拉乘积公式和函数方程的表达，并能对代数簇点数给出最佳估计。