《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》第十二节

蒙哥马利在普林斯顿演讲时，其零点分布与随机矩阵理论关联的观点吸引了贝尔实验室的欧德里兹科，后者借助克雷巨型计算机对黎曼ζ函数非平凡零点进行了大规模计算，为该关联提供了大量数值证据……

蒙哥马利在普林斯顿演讲时，其零点分布与随机矩阵理论关联的观点吸引了贝尔实验室的欧德里兹科，后者借助克雷巨型计算机对黎曼ζ函数非平凡零点进行了大规模计算，为该关联提供了大量数值证据，这一结果被称为蒙哥马利-欧德里兹科定律。由于随机矩阵本征值分布具有普适性，该定律意味着零点分布可用任一典型随机厄密矩阵的本征值分布描述。此后，鲁德尼克与萨纳克、波戈莫尼与基廷分别研究了高阶关联函数，虽给出“证明”，但因附加限制条件或依赖未证的猜想，均非严格证明。

早在蒙哥马利之前，20世纪初就流传着希尔伯特-波利亚猜想：黎曼ζ函数非平凡零点的虚部与某厄密算符的本征值一一对应。因厄密算符本征值为实数，若猜想成立则黎曼猜想必成立，故它比蒙哥马利-欧德里兹科定律更强。该猜想长期无文字记录，1981年欧德里兹科致信九十四岁的波利亚询问来源，波利亚回忆1914年在哥廷根时兰道曾问他是否有物理原因使黎曼猜想成立，他答称若零点对应某物理问题且所有本征值为实数则黎曼猜想必成立。此信成为该猜想唯一文字记录。

若希尔伯特-波利亚猜想成立，零点将对应某量子力学体系的能级，该体系称为黎曼体系，其哈密顿量为黎曼算符。由蒙哥马利-欧德里兹科定律可推测黎曼算符是特殊的随机厄密矩阵。1983年博希格斯、吉安诺尼和斯密特提出BGS猜想，认为随机厄密矩阵描述的量子体系在经典极限下对应经典混沌体系，虽未严格证明但有数值支持且物理上合理，故黎曼体系很可能是与经典混沌体系对应的量子体系。研究其特征需从能谱入手，60年代末70年代初戈兹维拉研究了能级密度函数的经典极限，得到戈兹维拉求迹公式，其中包含对经典闭合轨道及其绕转数的求和，涉及作用量和马斯洛夫相位。