《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》第六节

本节讲述数学家如何从零点分布研究推进到素数定理的证明，以及此后对黎曼猜想的探索。

本节讲述数学家如何从零点分布研究推进到素数定理的证明，以及此后对黎曼猜想的探索。

素数定理的证明关键在于弄清黎曼ζ函数非平凡零点的分布。俄国数学家切比雪夫曾证明素数定理等价于ψ(x)~x，而曼戈尔特利用比黎曼的J(x)更简洁的辅助函数ψ(x)，证明了与黎曼公式等价的表达式。由此可知，只要证明ζ函数在直线Re(s)=1上没有非平凡零点，素数定理即告成立。由于已知零点都位于0≤Re(s)≤1的区域内，只需去掉等号即可。1896年，阿达马与普森独立完成了这最后一步，证明了素数定理，同时也确认所有非平凡零点都落在0<Re(s)<1的临界带内。1900年，希尔伯特在巴黎演讲中将黎曼猜想列为23个数学问题之一，使其成为数学界瞩目的难题。

然而，黎曼的论文从未给出任何具体零点的数值。直到1903年，丹麦数学家格拉姆才首次算出前15个非平凡零点，发现它们都位于临界线上。此后经贝可隆、哈代等人的努力，到1925年已验证前138个零点均符合猜想，但受限于计算方法，零点计算陷入停顿。随着研究屡遭挫折，一些数学家开始怀疑黎曼当年的猜想仅凭直觉。为探寻答案，人们将目光投向黎曼的手稿，可惜其大部分已被管家焚毁，其妻埃莉斯虽从戴德金处索回一部分，但其中被认为载有相关想法的1860年巴黎笔记从此下落不明。