《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》第十三节

1985年，贝利计算出黎曼ζ函数非平凡零点的密度函数，发现其公式中的p只能取素数。

1985年，贝利计算出黎曼ζ函数非平凡零点的密度函数，发现其公式中的p只能取素数。与量子体系能级密度的计算结果对比可知，对应的经典体系中闭合轨道的周期须等于素数的对数ln(p)。有数学物理学家将此视为一种“物理证明”黎曼猜想的新方向，设想宇宙中可能存在经典周期为ln2、ln3、ln5……或量子能谱恰为ζ函数非平凡零点的物理体系。

随后转入纯数学领域，介绍1914年玻尔与兰道证明的玻尔-兰道定理。由于零点分布具有关于临界线和实轴的对称性，研究只需针对临界带的四分之一区域。定理指出：|ζ(s)|在直线Re(s)=σ上的平均值对σ>1/2有界且一致有界，由此可推出对任何δ>0，位于Re(s)≥1/2+δ的零点在全部非平凡零点中所占比例趋于零。该前提可由詹森公式等工具证明，兰道1909年的著作中已有相关结果。这意味着包含临界线的任意窄的带状区域都含有几乎全部零点，但仅凭此仍无法证明有零点落在临界线上，不过它显示临界线是零点的汇聚中心，是继阿达马与普森之后的重要进展。