《科学是什么》第三章：数学与逻辑

本节围绕“数学能否完全还原为逻辑”展开。作者首先介绍了一个用符号语言构建的逻辑主义学派，他们追随康德关于“无限”的讨论，试图从少数公理和纯逻辑推导出整个算术与代数体系。

本节围绕“数学能否完全还原为逻辑”展开。作者首先介绍了一个用符号语言构建的逻辑主义学派，他们追随康德关于“无限”的讨论，试图从少数公理和纯逻辑推导出整个算术与代数体系。库蒂拉特先生在《数学原则》中宣称，罗素和皮亚诺的工作已证明不存在先验综合判断，数学可完全归于逻辑，直觉不起作用。

作者对此表示反对。他以希尔伯特的几何学为例，指出把数学变成纯形式推演虽便于列举公设，却使数学思想残缺，且哲学家仍有权追问公设的起源与选择依据。作者提出核心论据：数学归纳法（全归纳原理）是数学推理必需的，却不能还原为逻辑。逻辑主义者辩称它只是整数的“伪装定义”，作者则依据斯图尔特·穆勒的观点反驳：任何定义都隐含假定，数学中的“存在”即“不矛盾”，要使公设系统充当定义，须先证明其不自相矛盾；而对无穷命题集的检验恰恰要用到归纳原理本身，形成循环。此外，定义所用的词在使用中往往暗含另一重意义，逻辑主义者也未解决这一问题。

作者还质疑了对数的诸多定义，认为用造句来定义数词极易陷入预期理由（循环论证）。他进而以皮亚诺的符号语言和布拉利·福尔蒂关于超限数的论文为例：该文用新记号得出两个超限序数既不相等也不可比的结论，与康托尔的证明直接冲突；作者与阿达马讨论后认为，符号语言在遇到自相矛盾时无能为力。