《科学是什么》第一章：数学中的逻辑与直觉

本节讨论数学研究中的两种思维方式：纯逻辑的分析方法与依赖直觉的几何方法。

本节讨论数学研究中的两种思维方式：纯逻辑的分析方法与依赖直觉的几何方法。作者认为这种倾向是天生的，后天教育影响不大，并列举了多位数学家为例：梅雷用几页纸证明二项式方程必有根，而克莱因教授用金属板和电流类比来研究黎曼平面上的奇点函数；同代的伯兰特与爱尔米特风格迥异，前者用姿势描述现象、渴望接触外界，后者则尽量与世隔绝、只在真理范围内求索；威尔斯塔拉斯把一切化为冗长算式，黎曼则始终借助图形。作者指出，两种思维方式各有成就，不可偏废。

接着作者说明，我们对古代著作的看法变了，而非思维方式变了——欧几里得几何本是直觉的产物，如今读来却像逻辑杰作。直觉会骗人：人们曾以为每条连续曲线都有切线，但因图形和直线都有宽度，我们只能无限接近而无法达到极限；狄利克雷的函数理论过去靠简短概括，如今才发现其中的漏洞。为求确定，数学家把连续性等直觉概念化为复杂的不等式体系，使数学算术化。作者进而区分直觉的三种层次：感官与想象、实验科学的推导、纯数字层面的逻辑推理，并指出怀疑第三种等于怀疑整个算术体系。他还回应哲学家的批评：数学的逻辑基础与实验事实是两个不同的问题，后者需由物理和自然科学回答。

最后作者强调，光有逻辑不够，逻辑用于展示定理，直觉用于发现事物。逻辑学家把问题拆成小块逐一解决，却可能失去对整体的把握，如同只懂规则却看不懂棋局的意图；连续函数的图像虽可被不等式体系取代，但若无图像便无从把握这一体系，正如没有海绵就只剩硅针框架。作者还修正了自己的划分：分析家也靠直觉发现联系，只是所用的是纯数字直觉而非感官直觉。因此他主张在数学教育中培养直觉洞察力，否则初学者难以真正理解理论。