《科学是什么》第二章：数量级与实验

本节讨论数学中"连续性"概念的来源与构造。作者指出，数学连续性并非来自经验，而是为解决经验带来的矛盾而人为创造的符号体系。

本节讨论数学中"连续性"概念的来源与构造。

作者指出，数学连续性并非来自经验，而是为解决经验带来的矛盾而人为创造的符号体系。以物理感知为例，费希纳的实验表明：物体A（10克）与B（11克）感觉相同，B与C（12克）感觉相同，但A与C却可区分，即A=B、B=C、A≠C。这与数学的矛盾律相悖。即使借助显微镜等工具区分出中间量D，实验结果仍带有这种物理连续性的特征，矛盾无法根除。因此，人们不得不在两个已知量之间不断加入新的概念，这便是数学连续性的第一法则。

第二法则涉及无理数（不可通约数）。狄德金将无理数定义为有理数集的一种划分：把所有有理数分为两组，一组的数恒大于另一组，这个划分点即为一个数（可以是有理数或无理数）。若坐标只能取有理数，圆会退化为方形、角也无法形成，因此必须引入无理数才能构成完整的数学连续性。这种连续性是为避免经验中的矛盾而有意识创造的符号，其基础来自经验，但本身是理性的构造。

作者还借杜波依斯-雷蒙德的观点说明：数学家可以无限细分出更高阶的无穷小量级，但这种构造并无实用价值，只有经验需要时才有创造的动力。在多维空间方面，作者以感官要素为类比：若一个连续空间被可区分要素的断层切开，它是一维的；若断层本身连续且为一维，则空间为二维，依此类推。最后，作者提到位置分析——一种只讨论点的位置关系而不涉及度量的几何分支，它证明了即使测量数据粗糙，结论依然可靠，这为后续讨论几何与测量的关系埋下伏笔。