《科学是什么》第三章：非欧几里得几何学

本章讨论非欧几里得几何学的产生及其意义。几何学以若干无法证明的公理为基础，其中“过直线外一点只能作一条平行线”长期无法被证明。

本章讨论非欧几里得几何学的产生及其意义。几何学以若干无法证明的公理为基础，其中“过直线外一点只能作一条平行线”长期无法被证明。19世纪初，波尔约与罗巴切夫斯基证明这种证明不可能，罗巴切夫斯基保留欧氏其他公理、仅改写平行公理，建立了自洽的几何体系，其结论与欧氏几何迥异，例如三角形内角和小于两个直角。黎曼则提出另一种几何，三角形内角和大于两个直角，且空间有限无界。三者可由两个标准区分：三角形内角和与两个直角的比较，以及过一点能作几条平行线。

为化解对新几何的质疑，贝尔特拉米用常量曲率曲面把罗巴切夫斯基几何嵌入欧氏几何，说明其不会推出矛盾；也可通过术语对应，把新几何的命题翻译成常规几何命题。作者进一步指出，许多几何定义（如图形全等、直线定义）其实暗含未公开的公理，如图形可刚性运动；史度尔特·米尤认为每个定理都对应一个公理，索菲丝·莱则证明在“空间有n维、刚体运动需p个条件”等前提下，可构成的几何体系数量有限。

最后讨论公理的性质：公理既非先天判断，也非实验结论，而是我们默认的、只要不产生矛盾即可沿用的定理。因此“欧氏几何是否正确”无意义，只应问哪种体系更便于表述，目前欧氏几何因最简单、最符合日常固体与测量经验而仍是最佳选择。