《科学是什么》第一章：数学逻辑的本质

本节探讨数学逻辑的本质，质疑数学是否只是从公理出发的分析性推演。

本节探讨数学逻辑的本质，质疑数学是否只是从公理出发的分析性推演。作者指出，公理既无法被证明，也无法引出新知识，因此若数学全靠逻辑，则可能只是对已知概念的同义反复。他以莱布尼茨证明“2＋2＝4”为例，说明这种推导只是把两个已知概念相互比对，属于“验证”而非真正的证明；真正的证明应得出比原命题更具一般性的结论，而科学必须具有一般性。

接着，作者以算术中加法、乘法的定义及其结合律、交换律为例，说明数学中的推理主要依靠数学归纳法，即由“n－1成立则n成立”层层推进。这种方法虽是纯分析的形式转换，得出不了新东西，却是从有限走向无限的必经之路，也是数学得以概括无限对象的基础。归纳法的正确性无法靠经验保证（经验只能验证有限个例），只能依赖直觉。

最后，作者比较了数学归纳与物理学中从特例总结一般规律的推理：二者都由特殊到一般，但根基不同——前者是头脑对结论的意识肯定，后者基于客观存在的宇宙规律。数学通过不断给结构增加成分、研究整体与部分的关系来提升思维层次，而一盘棋因各步走法无相似性，故不能成为科学。