《算法的乐趣》第三十六节

本章介绍实验数据的曲线拟合。曲线拟合是用连续曲线或解析表达式逼近一组离散数据点，以反映数据的函数关系，便于分析和估算。

本章介绍实验数据的曲线拟合。曲线拟合是用连续曲线或解析表达式逼近一组离散数据点，以反映数据的函数关系，便于分析和估算。以测速实验为例，从第3秒起每隔1秒测量一次速度，共12次数据，剔除偏差较大的点后呈线性，画出拟合直线，由斜率得到加速度约1.53 m/s²、初速度约3.99 m/s。

最小二乘法通过最小化误差平方和求最佳匹配函数，关键在于选择与数据规律相符的模式。以多项式模式为例，其步骤为：对各点到曲线的平方和求偏导，整理出正规方程组，再解出多项式系数。求解多元一次方程组常用高斯消元法：先选主元、逐行消元将系数矩阵化为三角矩阵，再回代求解；选主元可避免除法溢出。用该算法处理上述测速数据，得初速度4.055、加速度1.488，比作图法更精确。

最小二乘法简单但模式选错时偏差较大；RBF拟合数学复杂且不易得到拟合函数。三次样条拟合精度高、易得拟合函数，是工业设计常用的平滑插值方法。插值函数需在给定点上与原函数取值相等，若关于参量线性即为多项式插值；但插值点较多时多项式插值的收敛性与稳定性难以保证，此时宜用样条插值或低次最小二乘插值。